Kāda ir statistikas atšķirība starp varbūtības koeficienta testu un vispārinātu varbūtības koeficienta testu?


Atbilde 1:

Parametru novērtēšanas kontekstā varbūtības koeficienta pārbaude (LRT) attiecas tikai uz vienkāršām hipotēzēm, savukārt vispārinātu varbūtības koeficienta testu (GLRT) var izmantot, ja hipotēze nav vienkārša. Vienkārša hipotēze ir tāda, kurā attiecīgais parametrs ir skaidri definēts.

Kā piemēru izmantojot LRT, pieņemsim, ka mēs pieņemam, ka populācija seko normālam sadalījumam

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

, un mēs vēlamies pārbaudīt nulles hipotēzi

H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0

un alternatīva hipotēze:

H1:μ=μ1H_1: \mu = \mu_1

. Tad LRT testa statistika ir

λ(X)=L(μ1X)L(μ2X).\lambda(X) = \frac{L(\mu_1|X)}{L(\mu_2|X)}.

Pieņemsim, ka kā GLRT izmantošanas piemērs tiek pieņemts, ka populācija seko normālam sadalījumam

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

, un mēs vēlamies pārbaudīt nulles hipotēzi

H0:μ>0H_0: \mu > 0

un alternatīva hipotēze:

H1:μ0H_1: \mu \leq 0

. Ņemiet vērā, ka pārbaudāmā hipotēze vairs nav vienkārša, jo attiecīgais parametrs (

μ\mu

) nav tieši definēts kā skaitlis, kā tas bija iepriekšējā piemērā. Šajā gadījumā GLRT testa statistika ir

λ(X)=supμΘL(μX)supμΘ0L(μX).\lambda(X) = \frac{\text{sup}_{\mu \in \Theta}{L(\mu|X)}}{\text{sup}_{\mu \in \Theta_0}{L(\mu|X)}}.

Intheaboveexpression,Θisthesetofallpossible[math]μ[/math]value(itiscalledtheparameterspace),and[math]Θ0[/math]isthesetofallpossible[math]μ[/math]valueswhere[math]μ>0[/math](thisisasubsetoftheparameterspace). In the above expression, \Theta is the set of all possible [math]\mu[/math] value (it is called the parameter space), and [math]\Theta_0[/math] is the set of all possible [math]\mu[/math] values where [math]\mu > 0[/math] (this is a subset of the parameter space).

Arī abos piemēros

XX

ir parauga dati, kas tiek izmantoti parametra novērtēšanai

μ\mu

, un

LL

ir varbūtības funkcija.