Vai pastāv īpaša atšķirība starp divkāršo un atkārtoto integrālu?


Atbilde 1:

Virsmas integrālais vai atkārtotais integrētais:

Virsmas integrālis ir neatņemama sastāvdaļa, kurā funkcija tiek integrēta vai novērtēta pa virsmu, kas atrodas augstākas dimensijas telpā. (Divdimensiju) virsmas integrālis tiek ņemts uz formu, kas iegulta augstākas dimensijas telpā.

Bet atkārtotā integrālā tā var integrēt tikai funkciju, kuru ierobežo 2D reģions attiecībā uz bezgalīgo laukumu

Tas ir, mēs varam uztvert sfēras virsmas integrālu, teiksim, trīs dimensijās. Mēs varam plānot sfēras virsmu plaknē un pēc tam ņemt integrālu.

Vēl viens piemērs varētu būt 3D attēla kubs. Skaidrs, ka kuba virsmai ir 2D raksturs, bet pats kubs ir iestrādāts 3D telpā. Mēs varam pārņemt integrāli virs šīs virsmas.

Par virsmas integrāļiem var domāt šādā veidā: ja mēs kaut kā varam izlocīties, izstiepties, pagriezt, sagriezt un saliekt kādas formas virsmu, lai tā būtu plakana, tad mēs varam ņemt virsmas integrālo virs formas robežas. Bet pati forma nebūt nav vienmērīga un noteikti nav divdimensiju.

Iterētu integrālu var uzņemt tikai divdimensiju telpā. Tas ir, mēs to varam pārņemt tikai 2D telpas reģionā. Piemēram, kvadrāts, aplis vai jebkura cita forma ar iekšpusi.

Tātad, virsmas integrālis var izraisīt atkārtotu integrālu, ja mēs varam kartēt (izstiept, pagriezt utt.) Virsmu divdimensiju telpā, un, tieši pretēji, ja mēs varam divdimensiju telpu kartēt augstākas dimensijas virsmā, tad mēs varam ņemt virsmu integrālu! Tā ir jauka simetrija starp abām pietiekami jaukām virsmām un formām (lai gan, ņemot vērā izņēmuma gadījumus, virsmas integrālis ir vispārīgāks).

Virsmas integrālis pārvēršas par atkārtotu integrālu, ja virsma tiek projicēta uz patvaļīgas plaknes apgabalu.


Atbilde 2:

Patoloģiskos gadījumos ir svarīga integrācijas secība. Piemēram

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, bet neatņemamās izmaiņas apzīmē, ja pasūtījums tiek mainīts. (Ņemot vērā, ka integrālis pastāv un nav nulle, tad ir diezgan acīmredzami, ka zīme mainīsies - apmainās

xx

un

yy

.)

Bet šāda veida lieta nenotiek, ja pastāv divkāršais integrālis. Tātad dubultā integrālam jābūt smalki atšķirīgam. Divkāršie integrāļi tiek definēti līdzīgi kā atsevišķie integrāļi - sadaliet domēnu un ļaujiet gabaliem būt lieliem uz nulli. Atkārtots integrālis ir līdzīgs, taču domēns ir sadalīts taisnstūru režģī, un platumam un augstumam ir tendence uz nulli atsevišķi, un kārtībai ir nozīme.

Ja zināt par Lebesgue integrāciju, meklējiet Fubini-Tonelli teorēmas.