Atbilde 1:

1.

Forasimpleharmonicwaveoftheformϕ=ei(kxωt),wheresymbol[math]k=2πλ[/math]isthewavenumber,[math]λ[/math]isthewavelength,[math]x[/math]isthepositioncoordinate,[math]ω=2πν[/math]istheangularfrequency,[math]ν[/math]isthefrequency,and[math]t[/math]isthetime.Considertwocases,namely,For a simple harmonic wave of the form \phi = e^{i(kx-\omega t)}, where symbol [math]k = 2\pi\lambda[/math] is the wavenumber, [math]\lambda[/math] is the wavelength, [math]x[/math] is the position coordinate, [math]\omega = 2\pi\nu[/math] is the angular frequency, [math]\nu[/math] is the frequency, and [math]t[/math] is the time. Consider two cases, namely,

(a)

Asingleplanewave,withphase(kxωt)=constant:A single plane wave, with phase (k x - \omega t) = constant:

Šajā gadījumā viļņa punktam ir pozīcija

x=ωtk+constantkx = \frac {\omega t}{k} + \frac {constant}{k}

Šis vilnis pārvietojas pa x asi ar nemainīgu ātrumu, ko sauc par fāzes ātrumu, ko piešķir

vph=dxdt=ωkv_{ph} = \frac {dx}{dt} = \frac {\omega}{k}

b) plakņu viļņu grupa (viļņu pakete):

Ψ(x,t)=+a(k)ϕ(x,t,k)+a(k)ei(kxωt)dk\Psi (x,t)= \sum_{-\infty}^{+\infty} a(k)\phi (x, t, k) \approx \int _{-\infty}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

=0a(k)ei(kxωt)dk+0+a(k)ei(kxωt)dk = \int_{-\infty}^{0} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk + \int_{0}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

=0+a(k)ei(kxωt)dk+0+a(k)ei(kxωt)dk = \int_{0}^{+\infty} a(-k) e^{i(-kx-\omega t)}dk + \int_{0}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

wherethelatterexpressionforΨ(x,t)occursonlywhenthefunctionalrelationbetween[math]ω[/math]and[math]k[/math]islinear,andthephasevelocityofthetwopartsofthewavegrouptravelinthe[math]x[/math]and+[math]x[/math]directionswiththesamespeedandwithoutchangingshape.Thisisthecaseforundispersedwavemotion,suchasthepropagationoflightinavacuumandforastringstretchedbetweentwoendpoints.where the latter expression for \Psi (x, t) occurs only when the functional relation between [math]\omega[/math] and [math]k[/math] is linear, and the phase velocity of the two parts of the wave group travel in the –[math]x[/math] and +[math]x[/math] directions with the same speed and without changing shape. This is the case for undispersed wave motion, such as the propagation of light in a vacuum and for a string stretched between two endpoints.

2.

Forthecaseofdispersedwavemotion(waterwavesandlightpropagationinanopticalmedium),thereisadifferenceinphaseoftheindividualϕ(x,t,k);thefunctionalrelationbetween[math]ω[/math]and[math]k[/math]isnonlinear.Hence,thewavepacketchangesshapeandcannolongerbecharacterizedbythephasevelocity[math]v=ωk[/math].Instead,valuesof[math]a(k)[/math]areassumedsignificantonlywhen[math]k[/math]iswithinasmallinterval[math]Δk[/math],implyingFor the case of dispersed wave motion (water waves and light propagation in an optical medium), there is a difference in phase of the individual \phi (x, t, k); the functional relation between [math]\omega[/math] and [math]k[/math] is nonlinear. Hence, the wave packet changes shape and can no longer be characterized by the phase velocity [math]v = \frac {\omega}{k}[/math]. Instead, values of [math]a(k)[/math] are assumed significant only when [math]k[/math] is within a small interval [math]\Delta k [/math], implying

x=ωtk+constantkx = \frac {\omega t}{k} + \frac {constant}{k}

Izmantojot Teilora paplašinājumu,

ω=ω(k0)+(dωdk)k0+\omega = \omega (k_{0}) + (\frac {d\omega}{dk})_{k_{0}} + …

Pirmajā pasūtījumā paplašinājumā

Ψ(x,t)=ei(kxωt)Δka(k)ei(xdωdkt)(kk0)dk\Psi (x, t) = e^{i(kx-\omega t)} \int_{\Delta k} a(k) e^{i(x-\frac{d\omega}{dk}t)(k-k_{0})}dk

whereω0ω(k0).Thetermoutsidetheintegralrepresentswavemotionwithaconstantphase,implying[math](k0xω0t)[/math]=constant,so[math]ei(k0xω0t)[/math]=constant.Since[math]Ψ[/math]isafunctionof[math]x[/math]and[math]t[/math],then[math]x[/math]and[math]t[/math]variationontherighthandsideoftheaboveequationcanonlycomefromtheexponentialundertheaboveintegral.Unitsimply[math]dωdk[/math]isavelocity,whichisinterpretedasthevelocityofthewavepacket,andcalledthegroupvelocity[math]vg[/math],givenbywhere \omega_{0} \equiv \omega (k_{0}). The term outside the integral represents wave motion with a constant phase, implying [math](k_{0} x - \omega_{0} t) [/math]= constant, so [math] e^{i (k_{0}x–\omega_{0}t)}[/math] = constant. Since [math]\Psi[/math] is a function of [math]x[/math] and [math]t[/math], then [math]x[/math] and [math]t[/math] variation on the right-hand side of the above equation can only come from the exponential under the above integral. Units imply[math]\frac {d\omega}{dk}[/math]is a velocity, which is interpreted as the velocity of the wave packet, and called the group velocity [math]v_{g}[/math], given by

vg=dωdkv_{g} = \frac {d\omega}{dk}

Luija de Brogija (1924) disertācijā viņš saistīja šo viļņu paketes lokalizēto kustību ar daļiņu kustību, iestatot paketes grupas ātrumu vienādu ar masas punkta ātrumu. Šī procedūra noveda pie viņa slavenā vienādojuma, kas attiecās uz daļiņas viļņa garumu un lineāro impulsu, ko piešķīra

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}


Atbilde 2:

Reālās dzīves fizikā nav atšķirības. Mēs esam atklājuši, ka fotoniem, elektroniem un visām citām atomu daļiņām, kuras mēs uzskatījām par "daļiņām", faktiski bija arī viļņiem līdzīgas īpašības. Turpmākā pārbaude atklāja, ka mūsu klasiskajā “daļiņas” koncepcijā ir kļūda un ka fiziskajā Visumā tādu nav. Tā vietā matērija un enerģija pastāv viļņu paketēs. Kvantu vienības, kurām ir gan klasisko daļiņu, gan klasisko viļņu izturēšanās.

Liekas, ka jūs ar to cīnāties konceptuālā līmenī, nevis lai pilnībā aprakstītu šīs lietas. Tātad konceptuāli tikai uzskatiet, ka viļņu pakete ir vienība ar fiksētu enerģiju, kurai ir visas daļiņu un viļņu īpašības vienlaikus.


Atbilde 3:

Viļņi un viļņu paketes ir matemātiski jēdzieni, kas ļoti labi ļauj prognozēt vienkāršu daļiņu, piemēram, fotonu un elektronu, uzvedību. Tāpat kā šīs daļiņas, vilnis var izplatīties no vienas vietas uz otru. Un divi viļņi var atcelt otru lokalizētos reģionos, līdzīgi tam, kas tiek novērots, kad elektronu vai gaismas stars tiek izvadīts cauri spraugas pārim.

Vilnis ar visvienkāršāko matemātisko aprakstu ir plaknes vilnis, kam ir viens viļņa garums un frekvence un kas plešas visā telpā. Acīmredzami jebkurš reāls eksperiments ir saistīts ar daļiņām, kuras ir ierobežotākas; viļņu pakete ir kaut kas vairāk lokalizēts, kas atbilst, piemēram, lāzera impulsam. Izrādās, jūs varat apvienot nedaudz atšķirīgu viļņu garumu un virzienu plakņu viļņu kopumu, lai izveidotu lokalizētu paketi jebkurā jums vēlamā formā.

Pat ja viļņu pakete var saglabāt savu ierobežoto formu un pārvietoties telpā, tas nepadara to par daļiņu. Vilnim, kas apzīmē daļiņu, ir papildu īpašība: tas tiek kvantēts. Ja jūs aprēķināt, cik daudz viļņa ir (matemātiski jūs integrējat viļņa “normu” visā telpā), saņemtā atbilde ir nulle, viena vai divas utt. Tas atspoguļo faktu, ka jūs nevarat ir puse no elektroniem vai fotoniem. Šis fakts padara šīs lietas daļiņas.